TIL: 2020/05/25

1. 선형대수학

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 선형대수학 강의 3강 수학적 벡터를 듣고 정리하였습니다.

 

3강 수학적 벡터의 내용은 1) 대수 구조, 2) 벡터 공간의 의미, 3) 벡터 공간의 종류, 4) 벡터의 기저와 차원입니다.

 

대수 구조

대수학은 대수 구조를 다루는 학문입니다. 대수 구조는 수와 수를 대신할 수 있는 모든 것으로 구성한 집합에 대해서 구조를 부여한 것입니다. 일반적으로 구조는 연산과 그에 따른 공리입니다. 간단히 말해 대수 구조는 일련의 연산이 정의된 집합이라고 할 수 있습니다. 수학에서 "연산"이 배제될 수 없다는 점에서 대수학은 수학에서 큰 부분을 차지한다고 말할 수 있습니다.

 

다양한 대수 구조 중 대표적인 것은 군, 환, 체가 있습니다. 별도로 정리한 노트에도 포함한 도식을 살펴보면 다음과 같습니다.

여러 가지 대수구조 비교

 

대수구조의 범위

 

벡터와 대수 구조

벡터는 벡터 공간의 원소로, 벡터 공간은 대수 구조로 보면 가군에 속합니다. 즉 벡터 공간은 덧셈에 대해서는 아벨 군을 만족하고 체에서 원소를 가져와서 곱셈 연산을 정의합니다. 여기서 체에서 가져온 원소를 스칼라라고 하며 곱셈을 스칼라 배라고 부릅니다. 실수 배라고 하지 않는 이유는 체는 실수 집합뿐만이 아니라 복소수 집합도 포함하는 큰 개념이기 때문입니다.

 

벡터 공간과 관련하여서 선형 생성과 선형 독립이라는 개념이 있습니다. 선형 생성은 벡터 공간 V의 부분집합 S에 대해서 S의 원소(벡터)로 선형 결합하여 얻을 수 있는 모든 V의 부분 벡터 공간을 의미합니다. 선형 독립은 벡터 공간 V의 부분집합 S에 대해서 S의 원소(벡터)를 선형 결합해서 0 벡터를 만드는 스칼라가 0이 유일함을 의미합니다. 만약 0 외의 다른 값을 스칼라배한 선형 결합을 통해 0 벡터가 만들어진다면 S는 선형 종속이라고 부릅니다.

 

여러 가지 벡터 공간

기본적인 벡터 공간에 연산은 덧셈과 스칼라 배입니다. 이는 벡터의 기본적인 본질을 나타냅니다. 벡터의 덧셈은 벡터의 합성을 의미하고 스칼라 배는 벡터를 늘였다 줄임으로서 두 벡터가 같은 방향인지 파악하는 데 사용할 수 있습니다. 하지만 물리적 벡터에서 알 수 있듯이 벡터는 크기라는 특성을 가지고 이를 나타내기 위해 놈(norm) 연산을 벡터 공간에 정의해야 합니다. 놈 연산이 정의된 벡터 공간을 놈 공간이라고 부릅니다.

 

놈 연산 이외에도 벡터는 내적 연산이 있습니다. 내적 연산이 정의된 벡터 공간을 내적 공간이라고 합니다. 내적 공간은 놈 공간의 상위 호환으로 내적 공간에서는 놈 연산을 자기 자신의 내적을 기반으로 정의할 수 있지만 놈 공간에서는 내적을 정의하기 어렵습니다. 따라서 일반적으로 내적 공간을 벡터의 특성을 나타내는 공간으로 많이 사용합니다.

 

유클리드 공간은 n차원 실수 벡터 공간이라는 특수한 성질을 가지고 있습니다. 물리적 벡터에서 수학적 벡터로 넘어오면서 실수를 넘어 복소수를 비롯해 다양한 수체계로 벡터를 확장할 수 있습니다. 따라서 유클리드 공간은 어떠한 의미에서 실수 범위에서 정의된 벡터 공간으로 물리적 벡터와 유사할 수 있지만 수학적 벡터의 일부에 불과합니다.

 

기저와 차원

기저는 벡터 공간 V의 부분집합 B가 선형 독립이면서 선형 생성으로 V를 만족하는 부분집합을 의미합니다. 기저가 중요한 이유는 기저의 원소의 개수가 벡터 공간 V의 차원이기 때문입니다. 

 

벡터 공간 V에 대해서는 다양한 기저가 만들어질 수 있으므로 그중 유의미한 기저만을 선별하여서 정규 기저, 직교 기저, 정규 직교 기저라고 부릅니다. 

정규기저, 직교기저, 표준기저

자세한 내용은 github에 업로드하였습니다.

https://github.com/dhsong95/Linear-Algebra-Study/blob/master/03%20%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81%20%EB%B2%A1%ED%84%B0/03%EC%9E%A5%20%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81%20%EB%B2%A1%ED%84%B0.ipynb

dhsong95/Linear-Algebra-Study

 

2. 알고리즘 문제 풀이

프로그래머스 스택과 큐에 관련된 문제 "탑"을 해설하여 티스토리에 포스팅하였습니다.

 

전형적인 스택을 사용하는 문제로 도식을 사용해서 정리하였습니다.

 

https://dhsong10.tistory.com/4

알고리즘 풀이: [프로그래머스] 탑

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오늘 할 양을 생각보다 일찍 마친 터라 한강에 따릉이를 타고 다녀왔습니다. 밤에 더 알록달록한 한강의 모습입니다.

 

한강의 밤. 무슨 대교였더라....