TIL: 2020/05/26

1. 선형대수학

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 선형대수 강의를 수강하고 있습니다. 오늘은 선형 사상에 대한 내용입니다.

 

 

선형 사상이 무엇인가요?

 

선형 사상을 알기 위해서는 일단 사상이 무엇인지 알아야 합니다. 사상은 대수 구조에 적용하는 함수입니다. 선형은 함수처럼 하나의 대수 구조가 연산을 통해 다른 대수 구조에 대응합니다. 특히 선형 사상은 가산성과 동차성을 만족하는 사상입니다. 

 

선형 사상은 F-벡터 공간 V, W에 대해서 정의합니다. 함수의 개념을 차용하자만 벡터 공간 V를 정의역으로 하고 벡터 공간 W를 정의역으로 하는 함수입니다. 선형 사상은 앞선 말했듯이 "가산성"과 "동차성을 만족해야 합니다"

 

 

해당 사상이 선형 사상인지 판별하기 위해서 - 가산성과 동차성

 

F-벡터 공간 V, W에 대해 V → W인 사상 L이 주어졌을 때 해당 사상 L이 선형 사상인지 판별하기 위해서는 가산성과 동차성 조건 만족 여부를 파악해야 합니다.

 

가산성은 정의역에 해당하는 벡터 공간 V의 원소인 벡터 u와 v에 대해서 L(u + v) = L(u) + L(v)를 만족하는 경우입니다. 동차성은 F의 원소인 스칼라 k에 대해서 L(kv) = kL(v)를 만족하는 경우입니다. 사상 L에 관한 식이 주어졌을 때 가산성과 동차성을 만족하는지 풀어보면 선형 사상인지 아닌지를 판별할 수 있습니다.

 

 

사상은 다양하게 분류될 수 있습니다.

 

함수에서도 전사 함수, 단사 함수, 전단사 함수가 있습니다. 사상에서도 마찬가지입니다. 

 

전사 사상은 정의역에 있는 원소에 대응하는 공역이 서로 다른 사상을 의미합니다. 정의역의 원소를 사상을 통해 변환했을 때 동일한 값이 하나도 없습니다. 

 

단사 사상은 공역과 치역이 일치하는 사상입니다.

 

동형 사상은 함수로 치면 전단사 함수에 해당합니다. 동형 사상이 중요한 이유는 만약 두 대수 구조 V, W에 대한 사상 L이 동형 사상이라면, 두 대수 구조는 동일한 대수 구조라고 할 수 있습니다. 동일한 대수 구조는 내부 원소는 다를지라도 동일한 원리 원칙을 가지고 해석할 수 있기 때문에 유용합니다.

 

 

이제 가장 중요한 선형대수학의 기본정리에 대해 이야기하려고 합니다.

 

F-벡터 공간 V, W에 대해서 사상 V → W인 사상 L을 원소로 하는 집합 ℒ(V, W)를 만듭니다. 해당 집합 ℒ(V, W)에 구조를 부여함으로써 대수 구조를 만듭니다. 특히 덧셈과 실수 배를 정의하면 벡터 공간이 될 것입니다. 

 

F의 원소로 만들어진 mxn 행렬을 원소로 하는 집합 ℳmxn(F)을 만듭니다. 해당 집합 ℳmxn(F)에 구조를 부여함으로써 대수 구조를 만듭니다. 일반적인 행렬의 덧셈과 실수 배 연산이 부여된다면 해당 대수 구조는 벡터 공간을 만족합니다.

 

이제 두 벡터 공간 ℒ(V, W)과 ℳmxn(F)에 대해서 사상을 정의합니다. 사상 f는 ℒ(V, W) → ℳmxn(F)인 사상이고 사상 g는 ℳmxn(F) → ℒ(V, W)입니다. 자세한 연산을 살펴보기 전에 중요한 것은 사상 f와 사상 g가 모두 동형 사상이라는 것입니다. 심지어 사상 f와 사상 g는 역사상 관계입니다. 역사상은 f와 g를 합성한 결과와 g와 f를 합성한 결과가 모두 항등 함수가 되는 관계입니다. 

 

이러한 결과가 주는 함의는 선형 사상은 행렬이라는 것입니다. ℒ(V, W)과 ℳmxn(F)은 사실상 동일한 대수 구조이며, ℒ(V, W)의 원소인 선형 사상은 ℳmxn(F)의 원소인 mxn 행렬과 동일한 원리 원칙을 가지고 탐구할 수 있습니다.

 

결국 선형대수에서 복잡한 연산 및 원칙들이 행렬로서 표현되고 이해되기 시작하는 것입니다.

 

 

2. 알고리즘 문제 풀이

프로그래머스에서 제공하는 알고리즘에 대한 해설을 포스팅하였습니다.

 

"다리를 지나는 트럭" 문제로 큐를 사용해서 문제에 접근하는 것이 핵심입니다.

 

https://dhsong10.tistory.com/6

알고리즘 풀이: [프로그래머스] 다리를 지나는 트럭