TIL: 2020/05/27

1. 선형대수학

 

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 선형대수학 강의를 공부하고 있습니다. 

 

선형 대수의 기본 정리를 다룬 4강은 본격적으로 행렬이 선형대수에 왜 필요한지 의문을 해결해주었습니다.

 

 

선형 대수의 기본정리에서 말하는 바 "선형 사상은 행렬이다"

 

선형 사상 집합 ℒ와 행렬의 집합 ℳ을 벡터 공간으로 만들기 위해서 구조(연산과 법칙)를 부여합니다. 생성된 벡터 공간을 사상 f와 g로 만듭니다. 사상 f는 ℒ → ℳ이고 사상 g는 ℳ → ℒℒ입니다. 이때 사상 f와 사상 g는 모두 동형 사상일 뿐만이 아니라 서로 역사상 관계라는 것이 증명됩니다. 즉 선형 사상으로 만들어진 대수 구조와 행렬로 만들어진 대수 구조가 사실상 동일하다는 것입니다. 이는 선형 사상에 적용된 공리, 법칙들이 행렬에도 그대로 적용된다는 것을 의미합니다. 이제 선형 대수에서 선형 대수의 각종 원칙들은 행렬로서 표기될 것입니다.

 

선형 대수의 기본 정리를 증명하기 위해서는 ① 사상 f와 g가 선형 사상인 것과, ② 사상 f와 g가 동형 사상인 것을 증명하고, ③ 마지막으로 서로 역사상 관계인 것을 보여야 합니다. ①의 증명을 위해서는 가산성과 동차성을 사용하고 ②의 증명을 위해서는 전사 사상과 단사 사상을 활용합니다.

 

 

선형 대수의 기본정리를 시작으로 선형 사상과 행렬에 관한 다양한 정리를 보게 될 것입니다.

 

그중 중요한 정리 중 하나인 차원 정리와 계수 정리를 보았습니다. 차원 정리는 벡터 공간 V의 차원 dim(V)가 L: V → W인 선형 사상 L에 대해서 핵의 차원과 상의 차원의 합이라는 것입니다. (dim(V) = dim(ker L) + dim(im L) ). 차원 정리는 핵의 중요성을 말합니다. 함수에 비유한다면 치역에 해당하는 상의 차원은 정의역의 차원에서 핵의 차원을 빼어서 구할 수 있습니다. 

 

차원 정리는 비둘기집의 원리로 이어집니다. 선형 사상 L: V → W에 대해서 V의 차원과 W의 차원이 같을 때 L이 전사 사상이면 자동으로 단사 사사상이며, 단사 사상이면 자동으로 전사 사상임을 말합니다. 선형 사상에서의 비둘기집 원리는 함수로까지 확장될 수 있습니다.

 

차원 정리 말고 중요한 계수 정리가 있습니다. 계수 정리는 행렬과 관련된 정리입니다. 행 벡터의 선형 결합으로 구성된 행 벡터 공간과 열 벡터의 선형 결합으로 구성된 열 벡터 공간의 차원이 같다는 정리입니다. 이를 증명하기 위해서는 역사다리 꼴 행렬을 사용합니다.

 

 

오늘은 선형 대수의 기본 정리를 이해하는데 집중하였기 때문에 차원 정리와 계수 정리에 대해서 깊이 있게 파악하지 못했습니다. 내일 이어서 차원 정리와 계수 정리를 살펴보고 4강의 정리를 마무리하겠습니다.

 

 

2. 알고리즘 풀이

 

프로그래머스 스택과 큐에 해당하는 문제 중 "기능개발" 문제를 포스팅하였습니다.

 

https://dhsong10.tistory.com/8

알고리즘 풀이: [프로그래머스] 기능개발

반드시 큐를 사용할 필요는 없지만 그래도 큐를 사용해서 간단히 풀 수 있습니다.