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선형대수학

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선형대수학: 04강 선형사상 (1) - 선형사상 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=euOckRpDB10 핵심 내용 선형사상은 가산성과 동차성을 만족하는 사상이다. 동형사상이 중요한 이유는 어떠한 두 집합으로 가는 사상이 동형사상이면 두 집합의 대수구조는 서로 동일하다. (1) 선형사상 사상은 대수구조를 다루는 함수이다. 선형사상은 가산성과 동차성을 만족하는 특수한 사상이다. 선형사상의 정의 선형사상의 수학적 정의는 대수구조를 활용한다. F-벡터공간 V, W에 대하여 V의 성질을 보존하면서 가상성과 동차성을 만족하는 사상 L: V → W를 선형사상이라고 한다. 가산성과 동차성은 선형사상의 중요한 조건이다. 가산성은 L(u + v) = L(u) + L(v)로 표현된다. 이..
선형대수학: 03강 수학적 벡터 (4) - 기저와 차원 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g 핵심 내용 벡터공간 V의 기저는 벡터공간의 부분집합 B가 선형독립조건과 선형생성조건을 만족할 때이다. 벡터공간 V의 차원을 벡터공간 V의 기저 B의 원소의 개수이다 기저는 정규기저(놈 = 1), 직교기저(내적 = 0), 정규직교기저(정규이면서 직교)로 다양하게 만들 수 있다 (1) 기저와 차원 기저와 차원을 수학적 벡터 개념으로 정의한다. 기저와 차원의 정의 기저는 벡터공간 V의 부분 집합 B가 선형독립이고 span(B)가 벡터공간 V일 때, B를 V의 기저라고 한다. 이를 정리하면 벡터공간 V의 부분 집합 B가 기저가 되기 위해서는, 우선 부분 집합 B의 원소인 벡..
선형대수학: 03강 수학적 벡터 (3) - 여러 벡터공간 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g 핵심 내용 벡터의 연산에는 놈 연산과 내적 연산도 있는데, 연산이 정의된 벡터공간을 놈공간, 내적공간이라고 한다. 내적공간이면 놈공간이지만 놈공간이면 내적공간이 아니다. 내적이 정의되어 있으면 놈을 구할 수 있지만 놈이 정의되었다고해서 내적을 구할 수 있는 것은 아니다. 벡터의 성분이 실수인 벡터공간을 유클리드공간이라고 한다. 벡터공간은 집합과 덧셈 연산과 곱셈 연산이 정의되어 있다. 집합 위의 덧셈 연산은 결합법칙, 교환법칙이 성립하고 항등원과 역원을 가지고 있다. 벡터공간에서 덧셈 연산은 벡터의 합성과 관련이 있다. 또한 체 F의 원소와 곱셈 연산이 정의되어 있는..
선형대수학: 03강 수학적 벡터 (2) - 벡터공간 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g 핵심 내용 벡터공간은 대수구조 상 체의 원소와의 곱셈 연산이 정의된 가군이다. 벡터공간에 정의된 덧셈 연산은 벡터 합성을 의미하고 체의 원소와의 곱셈 연산은 크기와 방향을 조절하는 스칼라 배 연산을 의미한다. 수학적 벡터가 되면서 스칼라는 실수를 넘어서 체의 집합에 속하는 복소수도 가능해졌다. 선형생성은 벡터공간의 부분집합의 원소를 선형결합하여서 생성하는 부분벡터공간이다. 선형독립은 벡터공간의 부분집합의 원소를 선형결합한 결과 0 벡터가 만들어졌을 때, 선형결합으로 연산된 스칼라가 모두 0밖에 해가 없는 경우를 의미한다. 0 이외의 해가 있으면 선형종속이다. (1) ..
선형대수학: 03강 수학적 벡터 (1) - 대수구조 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_gh 핵심 내용 대수학의 대상: 수뿐만이 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것 대수학 = 대수구조를 연구하는 학문 대수구조 = 집합과 집합에 부여된 연산 다양한 대수구조: 반군(결합법칙) 모노이드(결합법칙, 항등원) 군(결합법칙, 항등원, 역원) 아벨군(결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원) 환(결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원 | 결합법칙) 가군 가환환(결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원 | 결합법칙, 교환법칙) 나눗셈환(결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원 | 결합법칙, 항등원, 역원) 체(결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원 | 결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원) 선..
선형대수학: 02강 물리적 벡터 (3) - 벡터의 응용 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=83UnOz6HiOY 핵심 내용 벡터로 직선 표현하기: x = a + kv 평면에 수직인 법선 벡터를 구하기 위해서는 평면 상의 서로 다른 두 직선을 나타내는 벡터를 벡터 곱 한다. 이때 크기는 중요하지 않다 벡터로 평면 표현하기: (x-a)·v=0 (1) 직선의 표현 2차원과 3차원 공간에 형성된 직선을 벡터로 표현한다. 용어 정리 벡터로 직선을 표현하기 위해 사용하는 용어로는 위치 벡터와 방향벡터가 있다. 위치 벡터는 원점을 시점으로 하는 벡터를 의미한다. 2차원 공간의 위치 벡터 (0, 2)가 의미하는 것은 원점에서 점 (0, 2)까지의 벡터를 의미한다. 방향벡터는 방향을 나타내는 ..
선형대수학: 02강 물리적 벡터 (2) - 벡터의 연산 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=83UnOz6HiOY 핵심 내용 벡터의 크기를 구하는 놈 연산. ||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2) 벡터의 정규화 = 단위 벡터로 만드는 작업. 단위 벡터는 놈(크기)이 1인 벡터 벡터 w를 벡터 v1, v2, ..., vn에 대한 선형 결합이다. → w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn 인 실수 k1, k2, ..., kn 이 있다 벡터의 내적은 벡터의 크기를 구하는 연산. v·w=||v|| ||w|| cosθ = v1w1 + v2w2 + ... vnwn 3차원 공간에 대해서만 정의되는 벡터 곱 연산은 크기가 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이..
선형대수학: 02강 물리적 벡터 (1) - 벡터와 좌표계 유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다. https://www.youtube.com/watch?v=nX6-bgPFsA8 핵심 내용 물리적 벡터는 크기와 방향을 가진 물리량을 표현하기 위한 방법이다. 벡터의 표현과 좌표의 표현은 표기법은 동일하지만 해석하는 방법은 다르다. 벡터의 동일성은 크기와 방향이 동일한 벡터를 기준으로 판별한다. 위치(시점 또는 종점)는 기준이 되지 않는다. 평면벡터는 2차원 실수 공간에서의 벡터를 의미하고 공간벡터는 3차원 실수 공간에서의 벡터를 의미한다. 현대 물리학은 기하적으로 나타내기 어려운 고차원 공간을 n 차원으로 일반화된 벡터를 사용해서 연구한다. 수학과 물리는 긴밀하게 연결되어 있다. 수학에서의 발견이 물리학에 영향을 주기도 하고, 반대의 경우도 종..

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