선형대수학: 02강 물리적 벡터 (3) - 벡터의 응용

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=83UnOz6HiOY 

 

핵심 내용

• 벡터로 직선 표현하기: x = a + kv
• 평면에 수직인 법선 벡터를 구하기 위해서는 평면 상의 서로 다른 두 직선을 나타내는 벡터를 벡터 곱 한다. 이때 크기는 중요하지 않다
• 벡터로 평면 표현하기: (x-a)·v=0

 

(1) 직선의 표현

2차원과 3차원 공간에 형성된 직선을 벡터로 표현한다.

 

 

용어 정리

 

벡터로 직선을 표현하기 위해 사용하는 용어로는 위치 벡터와 방향벡터가 있다.

 

위치 벡터는 원점을 시점으로 하는 벡터를 의미한다. 2차원 공간의 위치 벡터 (0, 2)가 의미하는 것은 원점에서 점 (0, 2)까지의 벡터를 의미한다.

 

방향벡터는 방향을 나타내는 벡터로 크기가 중요하지 않다. 따라서 (2, 2)나 (1, 1)이나 모두 같은 방향을 나타내므로 방향벡터로서의 기능만 보면 동일한 벡터라고 할 수 있다. 따라서 방향벡터는 최대한 간단한 형태로 잡고 계산하는 것을 권장한다.

 

 

직선의 표현 방법

 

2차원 또는 3차원 공간에서 위치 벡터 a인 점 A를 지나고 방향벡터가 v인 직선 상의 임의의 점 X의 위치 벡터 x는 x=a + kv (k는 실수)이다.

 

벡터로 직선 표현하기

예시에서 직선 y=x+2를 벡터로 표현하는 것에 대해서 알아보자.

 

점 A = (-1, 1)이고 B = (2, 4)가 주어진 상황에서 위치 벡터 a = (-1, 1)으로 가정한다. 방향벡터는 점 A에서 점 B로 가는 벡터 (3, 3)이다. 하지만 방향벡터의 성질상 크기는 중요하지 않으므로 계산의 편리함을 위해 방향벡터 v = (1, 1)로 정한다.

 

y = x + 2 직선 위 임의의 점 X에 대해서 위치 벡터 x는 벡터 a와 벡터 v의 선형 결합으로 표현할 수 있다.(x = a + kv, k는 실수). 따라서 위치 벡터 x = (-1, 1) + k(1, 1) = (-1 + k, 1 + k)이다. 

 

 

(2) 평면의 표현

3차원 공간에 형성된 평면을 벡터를 사용해서 표현한다.

 

 

용어 정리

 

평면을 벡터로 표현하기 위해서 법선 벡터에 대해서 알아야 한다.

 

법선 벡터는 평면에 수직인 벡터를 의미한다. 법선 벡터는 평면 상의 서로 다른 두 직선이 주어질 때, 두 직선의 벡터 곱 연산을 통해 구할 수 있다. 벡터 곱 연산의 방향은 두 벡터와 동시에 수직 하는 방향이기 때문이다. 직선을 표현할 때 방향벡터가 그러하였듯이 법선 벡터 역시 크기가 중요하지 않다. 따라서 평면에 수직인 방향을 나타내는 단순한 형태의 법선 벡터를 정해서 계산하는 것을 권장한다. 

 

 

평면의 표현 방법

 

3차원 공간의 위치 벡터 a인 점 A를 지나고 법선 벡터가 v인 평면상의 임의의 점 X의 위치 벡터 x는 (x-a)·v=0이다.

 

여기서 내적을 사용하는 이유는 평면 위의 직선을 나타내는 벡터 (x-a)와 평면에 수직인 법선 벡터 v는 서로 수직이므로, 수직인 두 벡터 사이의 내적은 0이라는 성질을 이용한 것이다.

 

벡터로 평면 표현하기

평면을 특정하기 위해서는 점 세 개가 주어져야 한다. 3차원 공간에서 A=(2, 0, 0), B=(0, 2, 0), C=(0, 0, 2)가 주어졌을 때, 위치 벡터 a=(2, 0, 0)이라고 가정한다. 

 

법선 벡터를 구하기 위해서는 평면 상의 서로 다른 두 직선을 나타내는 벡터가 필요하다. 점 A에서 점 C로 가는 벡터 (-2, 0, 2)와 점 A에서 점 B로 가는 벡터 (-2, 2, 0)에 모두 수직인 벡터가 법선 벡터가 될 것이다. 두 벡터를 벡터 곱 연산한 결과는 (-4, -4, -4)로 이는 두 법선 벡터가 된다. 하지만 법선 벡터는 방향이 중요한 것이지 크기가 중요한 것은 아니다. 따라서 간단한 형태로 약분한 (1, 1, 1)을 법선 벡터로 정한다.

 

법선 벡터를 정하였으면 평면 상의 임의의 점 X와의 위치 벡터 x와 위치 벡터 a를 뺀 벡터 (x-a)는 평면 상의 직선을 나타내는 벡터이다. 따라서 평면 상의 벡터 (x-a)와 평면에 수직인 벡터 (1, 1, 1)의 내적 연산은 0이다. 이를 직으로 표현하면 x=(x1, x2, x3)라고 할 때 (x1-2, x2-0, x3-0)·(1, 1, 1) = 0이므로 x1 + x2 + x3 = 2는 평면을 표현하는 식이 된다.