선형대수학: 03강 수학적 벡터 (2) - 벡터공간

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g

핵심 내용

• 벡터공간은 대수구조 상 체의 원소와의 곱셈 연산이 정의된 가군이다.
• 벡터공간에 정의된 덧셈 연산은 벡터 합성을 의미하고 체의 원소와의 곱셈 연산은 크기와 방향을 조절하는 스칼라 배 연산을 의미한다.
• 수학적 벡터가 되면서 스칼라는 실수를 넘어서 체의 집합에 속하는 복소수도 가능해졌다.
• 선형생성은 벡터공간의 부분집합의 원소를 선형결합하여서 생성하는 부분벡터공간이다.
• 선형독립은 벡터공간의 부분집합의 원소를 선형결합한 결과 0 벡터가 만들어졌을 때, 선형결합으로 연산된 스칼라가 모두 0밖에 해가 없는 경우를 의미한다. 0 이외의 해가 있으면 선형종속이다.

(1) 벡터공간

벡터공간은 다양한 대수구조 중 가군에 속한다. 가군의 정의를 살펴보면 환의 원소와 곱셈 연산이 정의되어 있으며 분배법칙이 성립하는 아벨군이다. 가군은 벡터공간보다 상위개념으로, 가군은 환의 원소와 곱셈 연산을 정의하지만 벡터공간은 체의 원소와 곱셈 연산을 정의한다. 환은 체를 포함하는 상위개념이기 때문에 가군은 벡터공간을 포함하는 상위개념이다. 

벡터와 벡터공간의 수학적 정의 - 수학적 벡터의 시작

벡터공간은 체 F에 대한 가군 (V, +, ·)이다. 이는 집합 V에 대해서 덧셈 연산(+)과 곱셈 연산(·)이 정의되어 있는데, 덧셈 연산은 결합법칙, 교환법칙을 만족하고 항등원과 역원이 있다. 또한 체 F의 원소와 곱셈 연산이 정의되어 있으며, 두 연산에 대해서 분배법칙도 성립한다.

 

수학적으로 벡터는 벡터공간의 만족하는 집합 V의 원소이다. 물리적 벡터에서는 크기와 방향이라는 속성으로 정의했던 벡터가 수학적 벡터에서는 대수구조 상의 집합 원소로 정의된다.

벡터공간의 연산과 벡터의 본질

벡터공간에 정의된 두 연산(덧셈, 곱셈)은 물리적 벡터에서 어떠한 의미를 지닐까? 

 

벡터공간에는 덧셈 연산(+)과 곱셈 연산(·)이 정의되어 있다. 덧셈 연산은 벡터의 합성을 의미한다. 덧셈 연산(+)은 물리적의 각 성분을 합하여서 합성된 벡터를 만드는 과정을 나타낸다. 곱셈 연산(·)은 엄밀히 말하면 스칼라 배다. 벡터의 크기와 방향을 결정하는 스칼라 배가 벡터공간에서 체 F의 원소와의 곱셈 연산(·)을 통해 나타난다.

 

물리적 벡터를 다루면서 스칼라는 항상 실수였다. 실수는 체 대수구조를 만족하는 집합 중 하나이다. 하지만 실수가 체 대수구조의 전부를 의미하는 것은 아니다. 수학적 벡터로 넘어오면서 스칼라는 이제 단순히 실수를 넘어서 체 대수구조를 만족하는 집합으로 확장된다. 실수 외의 체 대수구조를 만족하는 집합으로는 복소수 집합이 있으며, 수학적 벡터에서는 복소수 스칼라에 대해서는 벡터 연산을 정의할 수 있다.

벡터공간 판별하기 - 덧셈 연산은 아벨군 && (체 F의 원소와) 곱셈 연산 정의

체 F에 대한 대수구조 (V, +, ·)가 벡터공간을 만족하는지 확인하는 과정은 대수구조 (V, +)가 아벨군을 만족하고. (V, +, ·)가 체 F에 대한 가군임을 만족하면 된다.

 

벡터공간의 조건

대수구조 (V, +)는 아벨군을 만족하기 위해서는 집합 V의 임의의 원소 u, v, w에 대해서 덧셈에 대한 결합법칙, 교환법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재해야 한다.

 

대수구조 (V, +, ·)는 체 F에 대해서 가군임을 만족하기 위해서는 체 집합 F의 임의의 원소 k, m와 집합 V의 원소 u, v에 대해서 스칼라 배 연산이 정의되어야 한다. 또한 분배법칙도 성립해야 한다.

(2) 선형생성

선형생성은 벡터공간을 만족하는 집합 V의 부분집합 S에 대해서, S의 원소를 선형결합하면 V의 부분벡터공간 만들 수 있다. 이때 V의 부분벡터공간을 S의 (선형)생성이라고 한다. 선형생성을 이해하기 위해서는 부분벡터공간을 이해해야한다 

부분벡터공간

벡터공간 V(벡터공간을 만족하는 집합 V)의 부분집합 W가 있을 때, 부분집합 W도 벡터공간에 속한다면 W를 V의 부분벡터공간(=부분공간)이라고 한다. 

선형생성(linear span) 

선형생성(linaer span)

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 S={v1, v2, ..., vn} 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, V의 부분벡터공간을 S의 선형생성 span(S)라고 한다. 이를 수식으로 표현하면 span(S) = {Σ kv | k ∈ F, v ∈ S}이다. 

 

벡터공간 V를 실수(F) 원소와의 스칼라 배가 정의된 2차원 실수 공간이라 가정한다. 또한 벡터공간 V의 부분집합 S = {(1, 0), (0, 1)}이라고 가정한다. 부분집합 S의 원소들을 가지고 선형 결합하면 {k(1, 0) + m(0, 1) | k, m ∈ F} ⇔ {(k, m) | k, m ∈ F} ⇔ 2차원 실수 공간이다. 2차원 실수 공간은 벡터공간 V의 부분집합이므로, S는 2차원 실수 공간을 생성한다고 말할 수 있다.

(3) 선형독립

벡터 공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 S={v1, v2, ..., vn}에 대하여 k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 벡터를 만드는 k1=k2=...kn=0 밖에 없다면 S는 선형독립이다. 만약  k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 벡터를 만드는 k1=k2=...kn=0 이외의 해가 존재한다면 S는 선형종속이다.

선형 독립(linear independence)

2차원 실수 벡터공간 V의 부분집합 S={(1, 0), (0, 1), (1, 1)}가 있을 때 k1(1, 0) + k2(0, 1) + k3(1, 1) = 0 벡터를 만족하는 k1, k2, k3의 조합은 (0, 0, 0)을 제외하고 (1, 1, -1), (2, 2, -2) 등 무수히 많다. 따라서 S는 선형종속이다.

 

반면 S={(1, 0), (0, 1)}가 있을 때 k1(1, 0) + k2(0, 1) = 0 벡터를 만족하는 k1, k2의 조합은 (0, 0) 밖에 없다. 따라서 이때 S는 선형독립이다.