선형대수학: 02강 물리적 벡터 (2) - 벡터의 연산

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=83UnOz6HiOY 

 

핵심 내용

• 벡터의 크기를 구하는 놈 연산. ||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)
• 벡터의 정규화 = 단위 벡터로 만드는 작업. 단위 벡터는 놈(크기)이 1인 벡터
• 벡터 w를 벡터 v1, v2, ..., vn에 대한 선형 결합이다. → w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn 인 실수 k1, k2, ..., kn 이 있다
• 벡터의 내적은 벡터의 크기를 구하는 연산. v·w=||v|| ||w|| cosθ = v1w1 + v2w2 + ... vnwn
• 3차원 공간에 대해서만 정의되는 벡터 곱 연산은 크기가 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이면서 방향은 수직인 벡터

 

벡터를 활용한 연산에 대해서 알아보자.

 

(1) 노름(norm)

놈 연산

 

노름(norm, 놈) 연산은 벡터의 크기(또는 길이)를 구하는 연산이다.

벡터 놈 연산

벡터의 각 성분의 제곱을 모두 더하고 제곱근을 한다. 2차원의 평면벡터에서 기하적으로 확인했을 때 이는 화살표의 길이와 동일하다. A에서 B로 가는 벡터 v=(4, -2)에 대한 놈 ||v||는 4의 제곱과 (-2)의 제곱의 합 20을 제곱근 한 것으로 점 A에서 점 B까지의 직선 길이이다.

 

놈이 화살표의 길이에 대응하는 것은 기하적으로 표현할 수 있는 2차원, 3차원 공간에 한정한다. n 차원 공간으로 확장되었을 때 놈을 화살표의 길이로 해석하기에는 무리가 있으며 벡터의 크기로 해석하는 것을 권장한다.

 

 

단위 벡터와 정규화

 

벡터 v의 놈 ||v||가 1인 경우 벡터 v를 단위 벡터라고 한다. 정규화는 벡터 v를 단위 벡터로 만드는 과정이다. 원래 벡터의 각 성분에 벡터 v의 놈 ||v||를 나누어서 정규화한다. 

 

정규화 예시

벡터 A는 (2, 1)로 그 크기(놈)는 √5이다. 벡터 A를 정규화하여서 단위 벡터로 만들기 위해 A의 각 성분의 A의 놈 ||A||의 값인 √5를 나눈다. 따라서 정규화된 벡터 A`는 (2/√5, 1/√5)이며 계산해보면 A`의 놈은 1이다.

 

 

표준 단위 벡터

 

단위 벡터 중에서 벡터의 한 성분이 1이고 나머지 성분이 0인 벡터를 표준 단위 벡터라고 한다. 

 

표준 단위 벡터 예시

표준 단위 벡터의 예시로는 (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0) 등이 있다. 벡터 (1, 0, 0, 0)은 크기(놈)가 1이기 때문에 단위 벡터이며, 하나의 성분만 1을 가진 특수한 형태의 벡터이므로 표준 단위 벡터이다.

 

특히 임의의 벡터 v는 표준 단위 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 뒤에서 살펴보겠지만 벡터 v가 하나 이상의 다른 벡터에 실수배, 덧셈(뺄셈) 연산을 적용해서 만들 수 있다면, 벡터 v는 다른 벡터들의 선형 결합이라고 정의한다. 위의 예에서 5개의 성분을 가진 5차원 벡터 v=(3, 5, 2, 4, 1)은 표준 단위 벡터 e1=(1, 0, 0, 0, 0), e2=(0, 1, 0, 0, 0), e3=(0, 0, 1, 0, 0), e4=(0, 0, 0, 1, 0), e5=(0, 0, 0, 0, 1)에 대해 3e1 + 5e2 + 2e3 + 4e4 + 1e5로 선형 결합될 수 있다.

 

 

(2) 선형결합

벡터 w를 하나 이상의 다른 벡터 v1, v2, ..., vn 들에 실수배, 덧셈(뺄셈) 연산을 적용해서 만들 수 있을 때, 벡터 w는 벡터 v1, v2, ..., vn의 선형 결합이다. 수식으로 표현하면 실수 k1, k2, ..., kn에 대해서 w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn 이 성립하는 경우이다.

 

선형 결합을 위해서 벡터의 연산을 이해할 필요가 있으며 선형 결합을 위한 벡터의 연산으로는 벡터의 덧셈(뺄셈)과 벡터의 실수배가 있다.

 

 

벡터 기본 연산(덧셈과 뺄셈, 실수배)

벡터의 덧셈(뺄셈)과 벡터의 실수배

벡터의 덧셈(뺄셈)은 벡터의 각 성분을 덧셈(뺄셈)해서 구한다.

 

이를 기하적으로 나타내는 방법은 삼각형법 또는 평행사변형법으로, 위의 예시는 삼각형법이다. 벡터는 시점 또는 종점이 중요하지 않다. 따라서 벡터 v와 벡터 w를 연산하는 경우 벡터 v의 종점을 시점으로 벡터 w 만큼 화살표를 그려 최종적으로 도달하는 위치가 연산의 결과이다. 

 

벡터 v = (2,5)에서 벡터 w= (3, 2)를 더할 때 벡터 v의 종점인 (2, 5)를 시점으로 하여 x 축으로 3만큼 y 축으로 2 만큼 이동한 (5, 7)이 연산의 최종 결과이다.

 

뺄셈은 사실상 덧셈과 동일하다. 벡터 v에서 벡터 w를 빼는 것(v - w)은 벡터 w의 방향을 반대로 바꾸고(-w) 이를 더하는 것이다.(v + (-w))

 

벡터의 실수배는 벡터의 각 성분에 실수배를 한 결과이다.

 

기하적으로 해석하면 실수의 부호에 따라서 방향이, 실수의 절댓값에 따라서 크기가 달라지는 것을 확인할 수 있다. 부호가 음수인 경우 벡터는 원래 방향의 반대 방향으로 바뀐다. 실수의 절댓값이 2인 경우 원래 크기의 2배가 되며, 1/2인 경우 원래 크기의 반으로 줄어든다.

 

 

(3) 스칼라 곱(점 곱, 내적, inner product)

벡터의 곱 연산은 스칼라 곱과 벡터 곱으로 구분한다. 스칼라 곱은 벡터끼리 곱했을 때 결과가 스칼라(크기)가 나오는 것이고 벡터 곱은 벡터가 연산의 결과로 나온다. 

 

 

스칼라 곱: 벡터 · 벡터 = 스칼라(크기)

 

벡터 v와 벡터 w를 스칼라 곱하는 것의 의미는 벡터 v의 방향으로 벡터 v가 가지는 크기와 벡터 v의 방향으로 벡터 w가 가지는 크기를 곱한 결과이다. 이는 벡터 w 방향으로 벡터 v와 벡터 w가 가지는 크기를 곱한 결과와 동일하다. 즉 한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해서 가한 힘에 의해 변화된 크기(스칼라)로 정의할 수 있다. 

 

스칼라 곱(왼쪽)과 스칼라 곱 증명(오른쪽)

만약 벡터 v와 벡터 w가 동일한 방향이라면 벡터의 크기 ||v||와 ||w||를 구해서 곱하면 된다. 같은 방향이기 때문에 벡터 v와 벡터 w는 모두 원래의 크기를 잃어버리지 않고 곱해질 수 있다.

 

하지만 벡터 v와 벡터 w가 다른 방향이라면, 벡터 v 방향을 기준으로 벡터 w는 영향을 주는 크기가 작아질 수밖에 없다. 따라서 벡터 v 방향으로 벡터 w가 가한 크기를 구하기 위해서 벡터 w를 선형 결합으로 나타내야 한다. 

 

예시에서 벡터 v = (4, 0)이고 벡터 w = (2, 2)이다. 벡터 v 방향으로 벡터 w가 가하는 크기를 파악하기 위해서 벡터 w=(2, 2)를 (2, 0) + (0, 2)로 선형 결합한다. 따라서 벡터 w는 벡터 v 방향으로 ||(2, 0)||의 크기를 가진다.

 

이 과정에서 벡터 v와 벡터 w가 이루는 각 θ에 대한 코사인 값을 사용한다. 벡터 w가 벡터 v 방향으로 가하는 힘의 크기는 원래 벡터 w의 크기 ||w||의 cosθ 배이기 때문이다. 따라서 벡터의 스칼라 곱, 내적 연산은 v · w = ||v|| ||w|| cosθ 로 정의한다.

 

스칼라 곱(내적) 연산을 정의하는 또 다른 방법이 있다. 이는 벡터 v와 벡터 w의 같은 위치 성분끼리 곱해서 더하는 것이다. 벡터 v=(v1, v2, ..., vn)이고 벡터 w=(w1, w2, ..., wn) 일 때 v · w=v1w1 + v2w2 + ... + vnwn 이다. 

 

종합하면 벡터 v와 벡터 w의 내적 v · w는 ||v|| ||w|| cosθ=v1w1 + v2w2 + ... + vnwn 이다. 이를 증명하기 위해서는 제2 코사인 법칙을 사용한다.

 

 

벡터의 연산 성질

 

벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 스칼라 곱(내적)에 대한 벡터의 연산 성질이다.

벡터 연산 성질

벡터는 덧셈에 대해서 교환 법칙, 결합 법칙이 성립한다. 하지만 내적 연산에 대해서는 교환 법칙만 성립한다. 덧셈과 내적을 모두 활용한 분배 법칙은 성립한다.

 

벡터 내적 연산의 결합 법칙은 정의상 의미가 불분명하다. 벡터 u, v, w를 내적 한다고 가정하자. 벡터 u와 벡터 v를 내적 하면 그 결과 스칼라가 나온다. 스칼라 값과 벡터 w를 내적 연산하는 것은 정의되어 있지 않은 연산이다. 따라서 세 벡터를 내적 하는 경우는 그 의미가 불분명하므로 결합 법칙이 성립할 수 없다.

 

 

(4) 벡터 곱(가위 곱, cross product)

 

스칼라 곱: 벡터 x 벡터 = 벡터

 

벡터 v와 벡터 w를 벡터 곱 한 결과는 벡터이다.

벡터 곱 연산

결과로 나온 벡터의 크기는 벡터 v와 벡터 w가 이루는 평행사변형의 넓이이다.

 

방향은 벡터 v와 벡터 w에 동시에 수직인 방향이다. 벡터 v와 벡터 w에 동시에 수직인 방향은 두 가지 가능성(위 또는 아래 방향)이 있다. 벡터 v와 벡터 w의 벡터 곱 순서에 따라서 하나의 방향으로 결정된다 오른손 법칙을 사용해 연산 순서에 따라 오른손을 감싸 쥐었을 때 엄지 손가락의 방향이 벡터 곱 연산으로 나온 벡터의 방향이다.

 

주의할 것은 벡터 곱 연산은 3차원 실수 공간의 벡터에서만 정의된다는 것이다.

 

벡터 곱 연산을 구하는 식에는 행렬식을 구하는 과정이 있으며 부호에 유의한다.

 

 

벡터 곱 연산의 성질

 

벡터 곱 연산의 성질

벡터 곱 연산은 3차원 실수 공간에서만 정의로 일반적인 n 차원 공간에서 정의되는 덧셈, 뺄셈, 실수배, 내적과는 구분해서 그 성질을 파악할 필요가 있다.

 

벡터 곱 연산은 교환 법칙도 결합 법칙도 성립하지 않는다. 벡터 u와 벡터 v를 벡터 곱 한 결과와 벡터 v와 벡터 u를 벡터 곱한 결과는 방향이 반대이다. 결합 법칙이 성립하지 않은 경우는 벡터 u와 벡터 v에 대해서 (u x v) x v 한 결과와 u x (v x v) 한 결과를 하면 알 수 있다. 후자의 경우 같은 벡터를 벡터 곱 하였으므로 0 벡터가 나오지만, 전자는 그렇지 않다.