선형대수학: 02강 물리적 벡터 (1) - 벡터와 좌표계

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=nX6-bgPFsA8 

 

핵심 내용

• 물리적 벡터는 크기와 방향을 가진 물리량을 표현하기 위한 방법이다.
• 벡터의 표현과 좌표의 표현은 표기법은 동일하지만 해석하는 방법은 다르다.
• 벡터의 동일성은 크기와 방향이 동일한 벡터를 기준으로 판별한다. 위치(시점 또는 종점)는 기준이 되지 않는다.
• 평면벡터는 2차원 실수 공간에서의 벡터를 의미하고 공간벡터는 3차원 실수 공간에서의 벡터를 의미한다.
• 현대 물리학은 기하적으로 나타내기 어려운 고차원 공간을 n 차원으로 일반화된 벡터를 사용해서 연구한다.

 

수학과 물리는 긴밀하게 연결되어 있다. 수학에서의 발견이 물리학에 영향을 주기도 하고, 반대의 경우도 종종 일어난다.

 

벡터는 물리학에서 기원한다. 크기와 방향을 가진 물리량을 표현하기 위해 벡터가 등장한다. 물리적 벡터는 수학적 벡터로 확장된다. 수학적 벡터는 물리적 벡터의 주된 영역인 평면벡터(2차원), 공간벡터(3차원)를 넘어서 n 차원 벡터로 일반화된다.

 

수학적 벡터는 다시 물리학에 영향을 준다. 현대 물리학은 2차원, 3차원을 넘어서 시간을 축으로 하는 4차원과 초끈 이론의 대상인 11차원까지 확장된다. 고차원의 물리적 대상을 연구할 때, 기하적 해석(사실상 불가능) 보다 수학적 벡터를 활용한 해석이 유용하다. 따라서 n 차원으로 일반화된 수학적 벡터는 현대 물리학을 연구함에 있어서 필수적이다. 

 

벡터는 이처럼 과학(물리학)과 수학 분야에 걸쳐있는 중요한 개념이다. 그중 벡터의 시작인 물리적 벡터에 대해서 살펴본다. 

 

(1) 평면벡터

벡터란 무엇인가?

 

벡터의 가장 일반적인 정의는 크기(스칼라)와 방향을 가진 물리량을 표현하는 도구이다. 엄밀히 말하면 이는 물리적 벡터의 정의이다. 수학적 벡터로 넘어가면 대수 구조 상에서 벡터 공간을 정의하고, 벡터 공간에 속하는 원소를 벡터라고 한다. 이는 3강에서 집중적으로 다룬다.

 

원점에서 (1, 2)로 향하는 벡터 v

벡터는 크기(스칼라)와 방향을 가진다. 위의 예시는 원점(0, 0)에서 점 A (1, 2)로 향하는 벡터 v를 나타낸 것이다. 2차원 좌표평면 상에서 x가 1 만큼 증가했을 때 y가 2 증가하였으므로 벡터 v는 (1, 2)이다.

 

 

벡터와 좌표는 구분한다.

 

벡터 v를 나타내는 (1, 2)와 점 A의 좌표 (1, 2)는 다르다. 점 A는 특정한 점의 위치를 나타내는 반면 벡터는 시작점에서부터 x 축으로는 1만큼 y 축으로는 2 만큼 이동하였음을 의미한다. 따라서 같은 (1, 2)이지만 벡터인지 혹은 좌표인지에 따라서 해석이 달라진다.

 

 

똑같은 벡터란? → 크기와 방향이 동일한 벡터. 어디서 시작했는지 위치는 무시.

 

벡터는 크기와 방향을 나타내는 표기법으로 위치는 주된 관심사가 아니다. 따라서 동일한 벡터를 찾는다는 것은 동일한 크기와 방향을 가진 벡터를 찾는 것을 의미한다. 어디서 시작하고 어디서 끝나는지는 동일한 벡터를 판별함에 있어서 기준이 되지 않는다.

 

동일한 벡터 찾기

위의 예시에서 벡터 v와 동일한 벡터를 찾기 위해서 벡터 v와 동일한 방향과 크기를 가진 벡터를 찾는다.

 

동일한 방향을 가진 벡터는 x 축으로 증가하는 크기 대비 y 축으로 증가하는 크기의 비율이 동일한 벡터이다. 따라서 벡터 v와 평행한 벡터 a와 d가 벡터 v와 동일한 방향을 가진 벡터이다.

 

동일한 크기를 가진 벡터는 벡터의 놈(norm) 연산의 결과가 동일한 것으로, 2차원 좌표 평면 상에서 놈 연산은 화살표의 길이를 구하는 연산이다. 벡터 v와 동일한 크기를 가진 벡터는 a와 b이다. 

 

결론적으로 벡터 v와 동일한 벡터는 동일한 방향과 크기를 가진 벡터 a이다. 비록 벡터 a와 벡터 v는 시작점도 다르고 그에 따라서 끝나는 점도 다르지만 크기와 방향이 같으므로 동일한 벡터이다.   

 

 

평면벡터 - 2차원 벡터

 

평면벡터는 2차원 공간에서 정의된 크기와 방향을 가진 벡터이다. 2차원 공간에서 기하적으로 표현할 수 있기 때문에 직관적으로 벡터의 성질을 파악하기에 유용하다.

 

평면벡터 예시

 

위치 벡터

 

2차원 좌표평면에서 원점에서 시작하는 벡터를 위치 벡터라고 한다. 위의 예시에서 벡터 a와 벡터 b가 위치 벡터로 각각 (a1, a2), (b1, b2)로 표현된다. 

 

앞서 강조하였듯이 벡터 (a1, a2)와 좌표 (a1, a2)는 해석하는 방법이 다른 것에 유의한다. 

 

 

(2) 공간벡터

공간벡터는 3차원 실수 공간에서 정의되는 벡터이다. 

 

공간벡터 예시

 

 

(3) n차원 벡터

2차원 실수 공간에서 정의된 평면벡터와 3차원 실수 공간에서 정의된 공간벡터 모두 기하적으로 표현하고 그 의미를 직관적으로 파악할 수 있다. 하지만 현대 과학은 3차원 이상의 고차원을 대상으로 연구를 진행한다. 따라서 벡터 표현법 역시 3차원 이상의 n 차원으로 일반화할 필요가 있다. 

 

 

n 차원 벡터

n 차원 벡터

차원은 증가하였지만 벡터 표현에 있어서 차이는 없다. n 차원 실수 공간에 대해서 벡터 v는 n 개의 성분을 내부적으로 가지고 이를 순서쌍 튜플로 표현한다. n 차원 상의 점 A에서 점 B로 가는 벡터 u는 점 B에서 점 A를 뺀 결과를 벡터의 성분으로 한다.

 

n 차원으로 확장되었지만 여전히 두 벡터가 같다는 것은 크기와 방향이 같다는 것으로 시점 또는 종점을 고려하지 않는다.

 

또한 모든 성분이 0인 특수한 벡터를 영 벡터라고 부른다.