선형대수학: 01강 행렬과 행렬식 (1) - 행렬

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=83UnOz6HiOY 

 

핵심 내용

• 행렬 = 행과 열로 구성한 성분
• 다양한 종류의 행렬: 대각 행렬, 영행렬, 전치 행렬, 대칭 행렬, 정사각 행렬, 단위행렬
• 행렬의 덧셈과 뺄셈, 상수 배 → 교환 법칙 및 결합 법칙 성립. 행렬의 곱셈 → 결합 법칙만 성립. 분배 법칙 성립
• 행렬의 곱셈 = 함수의 합성

 

(1) 용어 정리

행렬을 이해하기 위해 필요한 용어를 정리한다.

 

 

행렬은 무엇인가?

 

행렬은 원소를 행과 열의 형태로 구성한 것으로, 행렬과 관련된 용어를 정리하면 다음과 같다.

행렬 관련 용어

행렬은 이름에서 알 수 있듯이 행(row)과 열(column)로 구성한다. 행렬에서 행은 가로방향을 열은 세로 방향의 성분들을 말한다. 행과 열의 개수에 따라서 행렬의 크기가 결정되며 위의 예시는 행이 2개 열이 3개인 2 x 3 행렬 A이다.

 

 

행렬의 특성에 따라서 종류를 구분할 수 있다.

 

다양한 행렬 예시

대각 행렬(Diagonal Matrix)은 행렬의 주 대각선(행 번호와 열 번호가 같은 위치) 성분을 제외하고 나머지 성분이 0인 행렬이다.

 

영행렬(Zero Matrix)은 행렬의 성분이 모두 0인 행렬이다

 

행렬 A에 대해서 전치 행렬(Transpose Matrix) AT를 구할 때 주 대각선을 기준으로 행 번호와 열 번호를 뒤집는다. 원래 mxn 크기의 행렬 A는 전치를 통해 nxm 크기의 행렬 AT로 변한다. 이때, 행렬 A에서 i번째 행과 j 번째 열의 성분은 전치 행렬 AT에서 j 번째 행과 i 번째 열의 성분이 된다.

 

대칭 행렬(Symmetric Matrix)은 원래 행렬과 전치 행렬이 같은 행렬이다. 

 

정사각 행렬(Square Matrix)은 행의 크기와 열의 크기가 동일한 행렬이다

 

단위행렬(Identity Matrix)은 주 대각선(행 번호와 열 번호가 같은 위치) 성분은 모두 1이고 나머지 성분의 값은 모두 0인 정사각 행렬이다.  

 

 

(2) 행렬의 연산

행렬의 기본 연산으로는 덧셈과 뺄셈, 상수 배, 곱셈이 있다. 덧셈과 뺄셈, 상수 배에 대해서는 연산의 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하는 반면 곱셈은 결합 법칙만 성립한다. 추가로 행렬 연산에 대한 분배 법칙은 성립한다.

 

 

행렬의 덧셈과 뺄셈

 

행렬의 덧셈과 뺄셈 예시

행렬의 덧셈과 뺄셈은 기본적으로 같은 위치의 성분을 더하거나 빼면 된다. 따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈이 이루어지기 위해서는 연산 대상이 되는 두 행렬이 모두 같은 행과 같은 열을 가져야 한다. 

 

 

행렬의 상수 배

 

행렬의 상수배 예시

행렬의 상수 배 연산은 상수를 행렬의 각 성분에 곱한다.

 

 

행렬의 곱셈

 

행렬의 곱셈 예시

행렬의 곱셈은 덧셈(뺄셈)과 상수 배와는 차이가 있다. 행렬 A와 B가 곱셈이 가능하기 위해서는 A의 열의 크기와 B의 행의 크기가 동일해야 한다. 곱셈 결과 나오는 행렬의 크기는 (A의 행의 크기) x (B의 열의 크기)이다. 위의 예시에서 A는 2x3 행렬이고 B는 3x2 행렬이다. A의 열의 크기(3)와 B의 행의 크기(3)가 동일하므로 두 행렬은 곱셈 연산이 가능하다. 곱셈의 결과로 A의 행의 크기(2) x B의 열의 크기(2)의 행렬이 등장한다. 이는 곱셈 연산인 A의 행과 B의 열 사이의 연산으로 이루어지기 때문이다.

 

그렇다면 행렬의 곱셈이 이러한 식으로 정의된 이유는 무엇일까. 이는 행렬의 곱셈이 함수의 합성을 의미하기 때문이다. 

행렬 곱과 함수 합성

위의 도식에서처럼 함수의 합성 결과는 행렬 곱의 연산 결과와 동일하다. 이를 통해 행렬 곱의 의미는 함수의 합성이라는 것을 알 수 있다.