선형대수학: 01강 행렬과 행렬식 (3) - 행렬식

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=83UnOz6HiOY 

 

핵심 내용

• 행렬식은 정사각 행렬을 하나의 수로 대응시키는 함수이다.
• 행렬식을 구하는 방법은 소행렬의 행렬식을 이용한다. 부호에 주의하자.
• 행렬식은 행렬이 역행렬이 있는지 판별하는 데 사용할 뿐만이 아니라(det(A) == 0 or not) 역행렬을 구하는 데에도 사용한다. 역행렬을 구할 때는 수반 행렬을 이용한다.
• 연립 일차방정식을 풀 때 모든 미지수가 궁금한 것이 아니라 특정 미지수의 해가 궁금한 것이라면, 크래머 공식을 사용해서 빠르게 해를 구하자.

 

 

(1) 행렬식이란?

연립 일차방정식의 해 풀이 중 역행렬을 이용하는 방법이 있다. 행렬 A가 역행렬이 존재한다면 연립 일차방정식 AX = B의 해는 역행렬을 이용해서 구할 수 있다.

 

그렇다면 특정 행렬 A가 역행렬이 있는지 어떻게 판별할까? 그리고 그에 대한 역행렬을 어떻게 구할까? 그에 대한 해답은 행렬식에 있다.

 

 

행렬식은 무엇인가?

 

정사각 행렬 A를 하나의 수를 사용해서 대표할 수는 없을까? 행렬식을 사용하면 가능하다. 행렬식은 정사각 행렬을 하나의 수로 대응시키는 함수를 의미한다. 

 

 

그렇다면 행렬식은 어떻게 행렬을 하나의 수로 대응할까?

 

다양한 정사각행렬의 행렬식

0x0 행렬, 1x1 행렬의 행렬식은 직관적이다. 0x0 행렬 A에서의 행렬식 det(A) = 0이고, 1x1 행렬 A에서의 행렬식은 유일한 행렬의 성분이다.(det(A) = 1). 

 

2x2 행렬은 고등 수학 과정에서 배웠듯이 1행 1열과 2행 2열의 성분 곱에서 1행 2열과 2행 1열의 성분 곱을 뺀다. 

 

3x3 행렬의 행렬식을 구하기 위해서는 소행렬의 행렬식을 구해야 한다.

Mij는 원래 행렬 A에서 i 행과 j열을 제외한 행렬(소행렬)의 행렬식이다. 예를 들어 M11은 3x3 크기의 원래 행렬 A에서 1행 과 1열을 제외한 소행렬의 행렬식이다. 1행과 1열을 제외하였으므로 2x2 크기의 소행렬 [[a22, a23], [a32, a33]] 의 행렬식을 구한다. 

 

3x3 행렬의 행렬식은 위의 식에서처럼 (1행 1열 성분과 M11의 곱) - (1행 2열 성분과 M12의 곱) + (1행 3열 성분과 M13의 곱)이다. 여기서 선택된 세 개의 성분 a11, a12, a13 대신에 다른 성분을 선택할 수 있다. 이때 부호에 주의한다.

 

3x3 행렬의 행렬식을 구하는 다양한 방법

a11M11 - a12M12 + a13M13

-a21M21 + a22M22 - a23M23

a31M31 - a32M32 + a33M33

a11M11 - a21M21 + a31M31

-a12M12 + a22M22 - a32M32

a13M13 - a23M23 + a33M33

 

가능한 모든 조합을 살펴보면 같은 행에 있는 성분 또는 같은 열에 있는 성분을 기준으로 선택되는 것을 알 수 있다. 또한 부호는 + - + 또는 - + - 순으로 적용한다.

 

 

3x3 크기의 행렬식을 좀 더 빠르게: 사루스 전개

 

3x3 크기의 행렬을 구하는 과정에서 소행렬을 찾고 이에 대한 행렬식을 구하는 것이 번거로울 수 있다. 3x3 행렬의 행렬식을 좀 더 간편하게 구하는 방법으로 사루스 전개가 있다.

 

사루스 전개

사루스 전개는 1열과 2열을 원래 행렬 뒤에 이어 붙인다. 그리고 (우하향하는 대간선에 있는 성분을 곱한 것의 합)에서 (우상향하는 대각선에 있는 성분을 곱한 것의 합)을 뺀다. 

 

소행렬과 행렬식을 구하는 정석적인 방법에 비해 간단하지만 3x3 크기에 대해서만 적용되는 방법이다.

 

 

(2) 역행렬

행렬식은 역행렬은 판별하는데 쓰이고 심지어 역행렬을 구하는 데에도 사용된다.

 

 

행렬식으로 역행렬이 있는지 판별하기

 

행렬 A에 대해서 역행렬이 존재하는지를 판단하기 위해서 행렬식을 사용한다.

 

만약 행렬 A의 행렬식 det(A)의 값이 0이 아니라면 행렬 A는 역행렬을 구할 수 있다. 이는 연립 일차방정식 AX = B에서 해가 하나로 결정됨을 의미한다.

반면에 행렬 A의 행렬식 det(A)의 값이 0이라면 행렬 A는 역행렬을 구할 수 없다. 이때 가우스-소거법으로 연립 일차방정식 AX = B의 해를 구하면 불능(해가 없음), 부정(해가 무수히 많음)이 나온다

 

 

행렬식으로 역행렬 구하기

 

역행렬을 구하기 위해서는 수반 행렬을 알아야 한다. 행렬 A의 역행렬은 행렬 A의 행렬식의 역수를 수반 행렬에 곱해서 구한다.

 

역행렬 구하기

행렬 A로부터 나온 수반 행렬 adj(A)의 각 성분 Cij는 (-1)^(i + j) * Mij 로 구한다. 수반 행렬의 i 행 j 열 성분은 원래 행렬 A에서 i 행 j 열을 제외한 소행렬의 행렬식을 구하고 부호를 정한다. (-1)^(i + j) 은 부호를 정하는 부분으로 짝수이면 소행렬의 행렬식으로 그대로 유지하고 홀수인 경우 -1을 곱한다.

 

 

역행렬의 성질

 

역행렬은 행렬 곱셈에 있어서 역원 역할을 한다. 원래 행렬 A에 대해서 역행렬 A-1을 구하고 이를 행렬 곱셈을 한 결과는 항등 행렬이 된다. 이러한 성질이 있기 때문에 연립 일차방정식의 해를 구하는 데 사용할 수 있다.

행렬의 덧셈과 뺄셈 예시

 

(3) 크래머 공식

연립 일차방정식의 해를 푸는 관점에서 행렬은 유용하게 사용할 수 있다. 하지만 연립 일차방정식의 미지수가 많을 때 모든 미지수의 해를 구하는 과정은 상당히 복잡하다. 기본 행 연산을 통해 첨가 행렬을 기약 행 사다리꼴로 만드는 것도, 혹은 역행렬을 구하는 것도 미지수가 많은 경우에는 많은 연산을 요하는 작업이다.

 

크래머 공식은 전체 미지수의 해를 푸는 대신에 특정한 미지수의 해를 구하는 것에 관심을 가진다. 따라서 적은 연산으로 특정한 미지수의 해를 풀 수 있다.

 

 

크래머 공식 방법

크래머 공식 방법

연립 일차방정식 AX = B 가 있을 때, X의 j 번째 미지수의 해를 알고 싶은 경우 행렬식을 사용한다.

 

원래 행렬 A에서 j 번째 열을 상수 행렬인 B로 대체한 행렬 Aj를 만든다. 그리고 원래 행렬 A의 행렬식과 새롭게 정의한 행렬 Aj의 행렬식을 사용하면 j 번째 미지수의 해를 구할 수 있다.

 

크래머 공식은 A의 역행렬을 구할 필요도 없고 A와 B를 이어 붙인 첨가 행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환할 필요 없이 행렬식 만으로 특정한 미지수의 해를 구할 수 있어 용이하다.