선형대수학: 01강 행렬과 행렬식 (2)

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

핵심 내용

행렬은 연립 일차방정식의 해를 구하기 위해서 연구되었다
연립 일차방정식의 해를 행렬을 사용해서 푸는 방법은 가우스-조던-소거법과 역행렬을 이용한 방법이 있다.
가우스 조던 소거법은 기본 행 연산을 통해 첨가 행렬을 기약 행 사다리꼴로 변화해서 연립 일차방정식의 해를 구한다.
연립 일차방정식 AX = B에 대해서 A의 역행렬이 존재하는 경우 양변에 A의 역행렬을 곱해서 미지수 X의 해를 구할 수 있다. 만약 A의 역행렬이 없으면 연립 일차방정식은 불능 또는 부정이다.

행렬은 연립 일차방정식을 해결하기 위한 방법으로 연구되었다. 행렬을 사용해서 연립 일차방정식을 푸는 방법으로는 가우스 조던 소거법과 역행렬을 이용한 방법이 있다.

행렬을 사용해서 연립 일차방정식의 해를 구하기 위해서는 가장 먼저 연립 일차방정식을 행렬로 표현하는 방법을 알아야 한다. 연립 일차방정식을 푸는 방법에 따라서 행렬의 표현을 달라진다.

가우스 조던 소거법을 사용해 연립 일차방정식을 풀기 위해서는 첨가 행렬을 만들어주어야 한다. 첨가 행렬은 미지수의 계수와 상수를 열을 기준으로 쌓아서 하나로 만든 행렬이다.

역행렬을 이용할 경우 행렬 곱셈의 결과가 연립 일차방정식과 일치하도록 계수 행렬, 미지수 행렬, 상수 행렬을 설정한다. 이후 계수 행렬에 대한 역행렬을 양변에 곱하여서 미지수 행렬의 해를 구한다.

가우스 조던 소거법은 기본 행 연산을 통해 첨가 행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환하여 연립 일차방정식의 해를 구하는 방법이다.

기본 행 연산?

기본 행 연산은 행렬을 단순한 형태로 변환시키면서 동시에 원래의 해를 변화시키지 않는 연산의 모음이다. 총 세 가지의 기본 행 연산이 있다.

1. 한 행을 상수 배 한다

2. 한 행을 상수 배하여 다른 행에 더한다

3. 두 행을 맞바꾼다.

기본 행 연산을 첨가 행렬은 기약 행 사다리꼴 형태가 된다.

행 사다리꼴? 기약 행 사다리꼴?

행 사다리꼴과 기약 행 사다리꼴은 특수한 형태의 행렬을 의미한다.

행 사다리꼴 행렬은 각 행의 0이 아닌 첫 번째 성분(선도)이 1이고 이러한 선도가 대각선으로 있어서 전체적인 형태가 사다리꼴인 행렬을 말한다.

기약 행 사다리꼴 행렬은 행 사다리꼴은 행 단위로 선도가 1이지만 기약 행 사다리꼴은 열 단위로도 선도가 1인 행렬을 말한다.

가우스 조던 소거법으로 연립 일차방정식의 해를 구하는 방법

가우스 조던 소거법은 가우스 소거법과 가우스 조던 소거법으로 나눌 수 있다.

가우스 소거법은 첨가 행렬을 행 사다리꼴로 변환함으로써 연립 일차방정식의 해를 구하는 방법이다.

가우스 조던 소거법은 첨가 행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환함으로써 연립 일차방정식의 해를 구하는 방법이다.

가우스 소거법 또는 가우스 조던 소거법은 모두 기본 행 연산을 통해 행렬을 변화시킨다. 기본 행 연산의 정의는 연립 일차방정식의 해를 변화시키지 않는 연산이므로 기본 행 연산을 통해 얻은 행 사다리꼴 또는 기약 행 사다리꼴의 해는 원래 첨가 행렬의 해와 동일하다.

위의 예시에서 알 수 있듯이 첨가 행렬의 마지막 열을 제외한 각 열은 미지수를 나타낸다. 기약 행 사다리꼴에서 행과 열의 선도는 1이므로 마지막 열이 곧 연립 일차방정식의 해가 된다.

연립 일차방정식을 행렬로 표현한 AX=B에서 미지수 행렬 X의 해를 구하는 방법이다. 만약 A의 역행렬이 존재한다면 A의 역행렬을 좌변과 우변에 행렬 곱해주면 연립 일차방정식의 해 X = A-1B로 구할 수 있다.

하지만 A의 역행렬이 존재하지 않는다면 연립 일차방정식은 특수한 경우 즉 해가 없거나(불능), 해가 무수히 많은(부정)인 상태를 의미한다.

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