선형대수학: 03강 수학적 벡터 (4) - 기저와 차원

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g

 

핵심 내용

• 벡터공간 V의 기저는 벡터공간의 부분집합 B가 선형독립조건과 선형생성조건을 만족할 때이다.
• 벡터공간 V의 차원을 벡터공간 V의 기저 B의 원소의 개수이다
• 기저는 정규기저(놈 = 1), 직교기저(내적 = 0), 정규직교기저(정규이면서 직교)로 다양하게 만들 수 있다

(1) 기저와 차원

기저와 차원을 수학적 벡터 개념으로 정의한다.

기저와 차원의 정의

기저는 벡터공간 V의 부분 집합 B가 선형독립이고 span(B)가 벡터공간 V일 때, B를 V의 기저라고 한다.

기저와 차원

이를 정리하면 벡터공간 V의 부분 집합 B가 기저가 되기 위해서는, 우선 부분 집합 B의 원소인 벡터들이 선형독립이어야한다(선형독립조건). 또한 부분 집합 B의 원소들인 벡터들을 선형결합하여서 벡터공간 V를 만들어야한다(선형생성조건)

 

예를 들어 벡터공간 V를 2차원 유클리드 공간이라고 하자. 그리고 벡터공간 V의 부분 집합 B = {(0, 1), (1, 0)} 2차원 유클리드공간의 벡터로 구성되었다. B의 각 원소인 벡터 (0, 1)과 벡터 (1, 0)은 선형독립이다. 벡터 (0, 1)과 벡터 (1, 0)에 대해서 k(0, 1) + l(1, 0) = (0, 0)을 만족하는 해가 k = l = 0 밖에 없다. 또한 벡터 (0, 1)과 벡터 (1, 0)은 벡터공간 V를 선형생성한다. 베터를 선형결합한 생성되는 결과 k(0, 1) + l(1, 0)는 2차원 유클리드 공간이다.

 

벡터공간 V의 차원을 기저 B의 원소 개수이다. 위의 예시에서 벡터공간 V의 차원 dim(V)는 기저 B = {(0, 1), (1, 0)}의 원소의 개수이므로 2이다.

다양한 종류의 기저

벡터공간 V에 대해서 만들어낼 수 있는 기저는 다양하다 그중 특수한 형태의 기저로는 정규기저, 직교기저, 정규직교기저(표준기저)가 있다.

기저의 종류와 예시

정규기저는 놈공간에서 구할 수 있다. 정규기저의 성질에 놈 연산이 들어가기 때문이다. 정규기저는 정규기저의 원소(벡터)의 놈이 1인 기저를 말한다. 벡터 V가 2차원 유클리드 공간일 때 부분 집합 B = {(1/√2, 1/√2), (1, 0)}는 정규기저이다. 부분 집합 B의 원소는 선형독립이고 2차원 유클리드공간을 생성하므로 기저의 조건을 만족한다. 또한 각 원소(벡터)의 놈은 1이므로 정규기저의 성질을 만족한다.

 

직교지저는 내적공간에서 구할 수 있다. 직교기저의 성질에는 내적 연산이 들어가기 때문이다. 직교기저는 직교기저의 서로 다른 원소(벡터)의 내적 연산이 항상 0인 기저를 말한다. 벡터 V가 2차원 유클리드 공간일 때 부분 집합 B = {(1, 1), (1, -1)}은 직교기저이다. 부분 집합 B의 원소는 선형독립이고 2차원 유클리드공간을 생성하므로 기저의 조건을 만족한다. 또한 서로 다른 원소(벡터) (1, 1)과 (1, -1)을 내적하면 <(1, 1), (1, -1)> = 0이므로 직교기저의 성질을 만족한다.

 

정규기저이면서 직교기저인 기저를 정규직교기저 혹은 표준기저라고한다. n차원 유클리드공간에서 정규직교기저는 n개의 원소가 있는 {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} 이다.