선형대수학: 03강 수학적 벡터 (3) - 여러 벡터공간

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g 

 

핵심 내용

• 벡터의 연산에는 놈 연산과 내적 연산도 있는데, 연산이 정의된 벡터공간을 놈공간, 내적공간이라고 한다.
• 내적공간이면 놈공간이지만 놈공간이면 내적공간이 아니다. 내적이 정의되어 있으면 놈을 구할 수 있지만 놈이 정의되었다고해서 내적을 구할 수 있는 것은 아니다.
• 벡터의 성분이 실수인 벡터공간을 유클리드공간이라고 한다.

벡터공간은 집합과 덧셈 연산과 곱셈 연산이 정의되어 있다. 집합 위의 덧셈 연산은 결합법칙, 교환법칙이 성립하고 항등원과 역원을 가지고 있다. 벡터공간에서 덧셈 연산은 벡터의 합성과 관련이 있다. 또한 체 F의 원소와 곱셈 연산이 정의되어 있는데, 이는 벡터의 크기와 방향을 조절하는 스칼라 배의 역할을 한다.

 

하지만, 벡터의 연산은 덧셈과 스칼라 배만 한정되지 않는다. 벡터의 연산인 놈(norm) 연산과 내적 연산이 정의된 벡터공간에 대해서 공부한다. 

(1) 노름공간

노름공간(놈공간)은 K-벡터공간(K 집합의 원소와의 곱셈 연산이 정의된 벡터공간, K 집합은 실수 집합과 복소수 집합을 의미하며 실수 집합과 복소수 집합 모두 체 대수구조에 속한다.)에 놈 연산이 정의된 벡터공간이다. (V, || ||).

 

놈 연산은 벡터의 크기를 구하는 연산이었다. 특히 기하적으로 화살표의 길이에 해당한다. 수학적으로 놈 연산 || || 은 벡터공간의 원소인 벡터를 [0, ∞) 로 매핑하는 함수이며 벡터공간 V의 임의의 원소 u, v와 K 집합의 임의의 원소 k에 대해서  다음과 같은 성질을 만족한다.

 

1. || kv || = k || v || : 실수 또는 복소수는 놈 연산 밖으로 빠져나올 수 있다
2. || u + v || ≤ || u || || v || : 두 벡터를 합성한 벡터의 놈(크기)는 각각의 벡터의 놈(크기)의 합보다 작거나 같다.
3. || v || = 0 ⇔ v = 영벡터 : 벡터의 놈(크기)가 0이라면 해당 벡터는 0 벡터이다. 또한 0 벡터의 놈(크기)는 0이다.

(2) 내적공간

내적공간은 K-벡터공간(실수와 복소수의 원소와 곱셈이 정의된 벡터공간)에 내적 연산이 정의된 벡터공간이다. (V, <,>)

 

내적 연산이 정의된 벡터공간에서는 놈 연산도 자연스럽게 정의된다. 자기 자신에 대해서 내적 연산 이후 제곱근한 결과가 노름공간이기 때문이다. 따라서 내적공간이면 놈 연산이 정의된 노름공간이라고 할 수 있다. 하지만 노름공간에서는 내적 연산이 정의되지 않았기 때문에 노름공간은 내적공간이 아니다.

 

두 벡터의 내적은 하나의 벡터의 방향을 기준으로 벡터가 가하는 크기의 곱을 의미한다. 실수에 대해서 u·v로 벡터의 연산을 표현하지만 일반적인 표기법은 <u, v>이다. 내적 연산은 벡터공간의 원소인 두 벡터에 대해서 실수 또는 복소수를 매핑하는 함수이다. 벡터공간 V의 임의의 원소 u, v와 K 집합의 임의의 원소 k에 대해서 다음과 같은 성질을 만족한다.

 

1. <u + v, w> = <u, w> + <v, w> : 두 벡터를 합성한 것과 다른 벡터 w의 내적은, 각각의 벡터와 다른 벡터 w와의 내적 연산 후 합과 같다.
2. <ku, v> = k<u, v> : 실수 또는 복소수는 내적 연산 밖으로 빠져나올 수 있다.
3. <u, v> = <v, u>의 켤레 : 실수 공간에서는 켤레가 정의되지 않으므로 벡터 u와 벡터 v의 내적 연산이 순서가 바뀌어도 된다. 하지만 복소수 체계에서는 벡터 u와 벡터 v의 내적은 벡터 v와 벡터 u의 내적의 켤레이다.
4. v ≠ 0벡터 ⇒ <v, v> > 0 : 0 벡터가 아닌 경우에 자기 자신의 내적은 0보다 크다. 

(3) 유클리드공간

유클리드공간은 벡터의 성분이 실수인 공간으로 n치원 실수 벡터공간이라고 한다. 유클리드공간에서의 내적 연산은 벡터의 각 성분의 곱의 합이며 이를 스칼라 곱 또는 점 곱이라고 한다.