선형대수학: 04강 선형사상 (1) - 선형사상

유튜브에서 제공하는 이상엽 선생님의 강의를 정리한 것입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=euOckRpDB10 

 

핵심 내용

• 선형사상은 가산성과 동차성을 만족하는 사상이다.
• 동형사상이 중요한 이유는 어떠한 두 집합으로 가는 사상이 동형사상이면 두 집합의 대수구조는 서로 동일하다. 

(1) 선형사상

사상은 대수구조를 다루는 함수이다. 선형사상은 가산성과 동차성을 만족하는 특수한 사상이다.

 

선형사상의 정의

선형사상의 수학적 정의는 대수구조를 활용한다. F-벡터공간 V, W에 대하여 V의 성질을 보존하면서 가상성과 동차성을 만족하는 사상 L: V → W를 선형사상이라고 한다.

 

가산성과 동차성은 선형사상의 중요한 조건이다.

 

가산성은 L(u + v) = L(u) + L(v)로 표현된다. 이는 V의 임의의 원소(벡터) u와 v를 합성한 원소(벡터)를 선형사상한 결과는 각각의 벡터를 선형사상한 결과의 합과 같다는 의미이다.

 

동차성은 L(kv) = k L(v)로 표현된다. 이는 V의 임의의 원소(벡터) v와 F의 임의의 원소(스칼라) k에 대해서 스칼라는 벡터에 곱해 있을 때나 떨어져 있을 때나 선형사상 결과에 영향력은 유지한다는 의미이다.

관련 용어

선형사상 L: V → W가 정의되어있을 때 다음과 같은 용어를 사용한다.

 

사상의 구성

핵(kernel): ker L = L(-1)(0 벡터) = { v ∈ V | L(v) = 0 벡터 }. 선형사상 L의 핵은 선형사상 결과 0 벡터를 만드는 벡터들의 집합으로 정의역의 부분집합이다.

 

상(image): im L = L(V) = { L(v) ∈ W | v ∈ V }. 정의역에 속하는 벡터들을 선형사상한 결과 생성되는 집합으로 치역에 해당한다.

 

사상의 종류

자기사상: V = W인 사상 L. 자기사상은 정의역과 공역이 같은 사상이다.

 

단사사상: L(u) = L(v) ⇒ u = v 인 L. 선형사상의 결과가 같다면, 이를 만든 벡터들도 동일한 상이다. 이를 다르게 표현하면 정의역에 있는 서로 다른 두 벡터는 선형사상 결과 서로 다른 벡터에 대응한다는 의미이다.

 

전사사상: L(V) = W인 L. 전사사상은 공역과 치역이 동일한 사상이다.

 

동형사상: 동형사상은 단사사상이면서 전사사상인 사상이다.

동형사상이 중요한 것은 대수구조의 동일성을 증명하기 위해 사용되기 때문이다. 임의의 두 대수구조 V, W의 선형사상 L: V → W이 동형사상이면 대수구조 V와 W는 사실상 동일한 대수구조이다. 동일한 대수구조에서는 대수구조 V에서 적용되는 원리 및 법칙이 대수구조 W에서도 그대로 적용될 수 있다.

선형대수학의 기본정리에서 선형사상과 행렬이 동일한 대수구조임을 증명하기 위해서 두 선형사상 (선형사상의 집합) → (행렬의 집합) 그리고 (행렬의 집합) → (선형사상의 집합)이 모두 동형사상임을 보인다.

 

자기동형사상: 동형사상이면서 자기사상인 사상.

 

사상의 연산

항등사상: L(v) = v인 L(=Iv). 항등사상은 사상의 결과 항상 자기 자신이 나온다. 특별히 Iv로 표기한다.

 

사상의 합성: L1: V → U이고 L2: U → W 일 때 두 선형사상 L1과 L2를 합성할 수 있다. 합성된 사상 L2 ￮ L1: V → W이다.

 

역사상:  L2 ￮ L1 = Iv 인 사상으로 L2는 L1의 왼쪽 역사상, L1은 L2의 오른쪽 역사상이라고 한다. 왼쪽 역사상이면서 오른쪽 역사상인 경우 역사상이라고 한다.

(2) 여러 선형사상

어떠한 사상이 선형사상이 되기 위해서는 가상성과 동차성을 만족해야 한다. 가산성 조건과 동차성 조건을 따져봄으로써 선형사상을 판별할 수 있다.

 

여러 선형사상 증명